پاسخ فعالیت صفحه 105 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۰۵ حسابان یازدهم سلام! برای تکمیل جدول، از مقادیر سینوس زوایای اصلی و همچنین **روابط تقارنی** (زوایای مکمل و قرینه) در دایره مثلثاتی استفاده می‌کنیم. 🎯 ### تکمیل جدول | $x$ (رادیان) | ۰ | $\frac{\pi}{۶}$ | $\frac{\pi}{۳}$ | $\frac{\pi}{۲}$ | $\frac{۵\pi}{۶}$ | $\frac{۷\pi}{۶}$ | $\frac{۳\pi}{۲}$ | $\frac{۱۱\pi}{۶}$ | $۲\pi$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = \sin x$ | ۰ | $\frac{۱}{۲}$ | $\frac{\sqrt{۳}}{۲} \approx ۰.۸۶$ | $\mathbf{۱}$ | $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ | $\mathbf{-\frac{۱}{۲}}$ | $-۱$ | $\mathbf{-\frac{۱}{۲}}$ | $\mathbf{۰}$ | ### توضیح محاسبات زوایای غیر حاده 1. **$\mathbf{x = \frac{\pi}{۲}}$**: زاویه ۹۰ درجه. $\sin(\frac{\pi}{۲}) = \mathbf{۱}$. 2. **$\mathbf{x = \frac{۵\pi}{۶}}$**: ربع دوم. زاویه مرجع: $\pi - \frac{۵\pi}{۶} = \frac{\pi}{۶}$. $\sin(\pi - \frac{\pi}{۶}) = \sin(\frac{\pi}{۶}) = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$. 3. **$\mathbf{x = \frac{۷\pi}{۶}}$**: ربع سوم. زاویه مرجع: $\frac{۷\pi}{۶} - \pi = \frac{\pi}{۶}$. $\sin(\pi + \frac{\pi}{۶}) = -\sin(\frac{\pi}{۶}) = \mathbf{-\frac{۱}{۲}}$. 4. **$\mathbf{x = \frac{۱۱\pi}{۶}}$**: ربع چهارم. زاویه مرجع: $۲\pi - \frac{۱۱\pi}{۶} = \frac{\pi}{۶}$. $\sin(۲\pi - \frac{\pi}{۶}) = -\sin(\frac{\pi}{۶}) = \mathbf{-\frac{۱}{۲}}$. 5. **$\mathbf{x = ۲\pi}$**: زاویه ۳۶۰ درجه. $\sin(۲\pi) = \mathbf{۰}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۰۵ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت، نقاط گسسته تابع $\mathbf{y = \sin x}$ را به نمایش **منحنی پیوسته** آن تبدیل می‌کند و مفهوم تابع بودن را مرور می‌کند. ### ۱. تکمیل مجموعه زوج مرتب‌ها از مقادیر به دست آمده در فعالیت ۱ استفاده می‌کنیم: $$f = \{(\circ, \circ), (\frac{\pi}{۶}, \frac{۱}{۲}), (\frac{\pi}{۳}, \frac{\sqrt{۳}}{۲}), (\frac{\pi}{۲}, \mathbf{۱}), (\frac{۵\pi}{۶}, \mathbf{\frac{۱}{۲}}), (\frac{۷\pi}{۶}, \mathbf{-\frac{۱}{۲}}), (\frac{۳\pi}{۲}, -۱), (\frac{۱۱\pi}{۶}, \mathbf{-\frac{۱}{۲}}), (۲\pi, \mathbf{۰}) \}$$ ### ۲. قرار دادن نقاط و بررسی روی منحنی * **نقاط روی منحنی؟**: **بله**. این نقاط، که نقاط کلیدی تابع سینوس هستند، دقیقاً روی منحنی پیوسته $\mathbf{y = \sin x}$ قرار می‌گیرند. منحنی، اتصال پیوسته تمام این نقاط است. * **منحنی تابع است؟**: **بله**. * **دلیل**: با رسم خطوط موازی محور $y$ها (خطوط عمودی)، مشاهده می‌شود که هر خط عمودی نمودار را **دقیقاً در یک نقطه** قطع می‌کند. * این بدان معناست که به ازای هر ورودی $x$، تنها **یک** مقدار $\sin x$ (خروجی $y$) وجود دارد، که تعریف تابع بودن است. **نتیجه**: تابع $\mathbf{y = \sin x}$، یک **تابع پیوسته** است که تمام $x$های دامنه را به $y$های یکتا در بازه $[ -۱, ۱]$ نگاشت می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۱۰۵ حسابان یازدهم سلام! برای پیدا کردن مقدار $\mathbf{\sin ۱}$، باید به یاد بیاوریم که در تابع $\mathbf{y = \sin x}$، $x$ بر حسب **رادیان** است. 🎯 ### گام اول: تعیین موقعیت $x=۱$ رادیان * **رابطه تبدیل**: $\mathbf{\pi \text{ رادیان} \approx ۳.۱۴ \text{ رادیان} = ۱۸۰^{\circ}}$. * **$x=۱$ رادیان**: $\mathbf{۱ \text{ رادیان} \approx ۵۷.۳^{\circ}}$ (در ربع اول). ### گام دوم: تعیین موقعیت $x=۱$ روی محور $x$ * $\mathbf{\frac{\pi}{۲}} \approx \frac{۳.۱۴}{۲} \approx ۱.۵۷$ رادیان است. * بنابراین، $x=۱$ رادیان بین $athbf{x=۰}$ و $\mathbf{x = \frac{\pi}{۲}}$ (نصف این فاصله) روی محور $x$ قرار می‌گیرد. ### گام سوم: تعیین مقدار $\sin ۱$ روی محور $y$ * $\sin(\frac{\pi}{۶}) = ۰.۵$ و $\sin(\frac{\pi}{۲}) = ۱$. * مقدار $x=۱$ رادیان کمی از $x=\frac{\pi}{۳} \approx ۱.۰۴۷$ کوچکتر است. * ما می‌دانیم که $\sin(\frac{\pi}{۳}) = \frac{\sqrt{۳}}{۲} \approx ۰.۸۶۶$. از آنجا که $\mathbf{x=۱}$ رادیان در نزدیکی $\mathbf{\frac{\pi}{۳}}$ قرار دارد، مقدار $\sin ۱$ باید: * بزرگتر از $\sin(\frac{\pi}{۴}) \approx ۰.۷۰۷$ باشد. * نزدیک به $\sin(\frac{\pi}{۳}) \approx ۰.۸۶۶$ باشد. **نتیجه**: مقدار $\mathbf{\sin ۱}$ تقریباً $\mathbf{۰.۸۴}$ است و $\mathbf{\sin ۱ \approx ۰.۸۴}$ روی محور $y$ (کمی زیر $\frac{\sqrt{۳}}{۲}$ یا $۰.۸۶$) قرار می‌گیرد. (با استفاده از نمودار، می‌توان حدس زد که مقدار کمی پایین‌تر از $۰.۹$ است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۱۰۵ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت به مهم‌ترین تفاوت در تحلیل توابع مثلثاتی می‌پردازد: **تفاوت بین زاویه بر حسب رادیان (عدد بدون واحد) و زاویه بر حسب درجه**. ⚠️ ### ۱. تحلیل $\mathbf{\sin ۲}$ * **زاویه**: $\mathbf{۲}$ رادیان. (چون واحدی ذکر نشده است) * **موقعیت**: $\pi \approx ۳.۱۴$ رادیان است. پس $۲$ رادیان در **ربع دوم** ($۹۰^{\circ} < ۲ \text{ rad} < ۱۸۰^{\circ}$) قرار دارد. * **مقدار**: مقدار سینوس در ربع دوم **مثبت** است. $\mathbf{\sin ۲ \approx ۰.۹۰۹}$ است. (این مقدار به ۱ بسیار نزدیک است.) ### ۲. تحلیل $\mathbf{\sin ۲^{\circ}}$ * **زاویه**: $\mathbf{۲}$ درجه. (نماد $\circ$ درجه را نشان می‌دهد) * **موقعیت**: $۲^{\circ}$ در **ربع اول** قرار دارد. * **مقدار**: $۲^{\circ}$ یک زاویه بسیار کوچک نزدیک به صفر است. $\sin ۰^{\circ} = ۰$. * **مقدار**: مقدار سینوس برای زوایای کوچک تقریباً برابر خود زاویه (بر حسب رادیان) است: $۲^{\circ} \approx ۲ \times \frac{\pi}{۱۸۰} \approx ۰.۰۳۴۹$ رادیان. $$\mathbf{\sin ۲^{\circ} \approx ۰.۰۳۵}$$ ### ۳. تفاوت * $\mathbf{\sin ۲}$ (رادیان): یک عدد **نسبتاً بزرگ** (حدود ۰.۹) است که سینوس زاویه‌ای در **ربع دوم** است. * $\mathbf{\sin ۲^{\circ}}$ (درجه): یک عدد **بسیار کوچک** (حدود ۰.۰۳۵) است که سینوس زاویه‌ای در **نزدیکی صفر** است. **نتیجه**: مقدار $\mathbf{\sin ۲}$ تقریباً **۲۶ برابر** $\mathbf{\sin ۲^{\circ}}$ است. این تفاوت نشان می‌دهد که در توابع مثلثاتی، اگر واحد صریحاً درجه نباشد، باید زاویه را **رادیان** فرض کنیم و مقدار آن کاملاً متفاوت خواهد بود.